Un fractal este "o figură geometrică fragmentată sau frântă care poate fi divizată în părţi, astfel încât fiecare dintre acestea să fie (cel puţin aproximativ) o copie miniaturală a întregului".
Fractalul, ca obiect geometric, are în general următoarele caracteristici:
-Are o structură fină la scări arbitrar de mici.
-Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradiţional.
-Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic).
-Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deşi această cerinţă nu este îndeplinită de curbele Hilbert).
-Are o definiţie simplă şi recursivă.
-Are o structură fină la scări arbitrar de mici.
-Este prea neregulat pentru a fi descris în limbaj geometric euclidian tradiţional.
-Este autosimilar (măcar aproximativ sau stochastic).
-Are dimensiunea Hausdorff mai mare decât dimensiunea topologică (deşi această cerinţă nu este îndeplinită de curbele Hilbert).
-Are o definiţie simplă şi recursivă.
Deoarece par identici la orice nivel de magnificare, fractalii sunt de obicei consideraţi ca fiind infinit complecşi (în termeni informali). Printre obiectele naturale care aproximează fractalii până la un anumit nivel se numără norii, lanţurile montane, arcele de fulger, liniile de coastă şi fulgii de zăpadă. Totuşi, nu toate obiectele autosimilare sunt fractali—de exemplu, linia reală (o linie dreaptă Euclidiană) este autosimilară, dar nu îndeplineşte celelalte caracteristici.
O clasă de exemple simple este dată de mulţimile Cantor, triunghiul şi covorul lui Sierpinski, buretele lui Menger, curba dragon, curba lui Peano şi curba Koch. Alte exemple de fractali sunt fractalul lui Lyapunov şi mulţimile limită ale grupurilor Kleiniene. Fractalii pot fi determinişti (toţi cei anteriori) sau stocastici (adică nedeterminişti). De exemplu, traiectoriile mişcării browniene în plan au dimensiunea Hausdorff 2.
Sistemele haotice dinamice sunt uneori asociate cu fractalii. Obiectele din spaţiul fazelor dintr-un sistem dinamic pot fi fractali (vezi atractor). Obiectele din spaţiul parametrilor al unei familii de sisteme pot fi de asemenea fractali. Un exemplu interesant este mulţimea lui Mandelbrot. Această mulţime conţine discuri întregi, deci are dimensiunea Hausdorff egală cu dimensiunea topologică (adică 2) — dar ceea ce este surprinzător este că graniţa mulţimii lui Mandelbrot are de asemenea dimensiunea Hausdorff 2 (în timp ce dimensiunea topologică este 1), un rezultat demonstrat de Mitsuhiro Shishikura în 1991. Un fractal foarte înrudit este mulţimea Julia.
Chiar şi la curbele simple se poate observa proprietatea de autosimilaritate. De exemplu, distribuţia Pareto produce forme similare la diferite niveluri de grosisment.
Sistemele haotice dinamice sunt uneori asociate cu fractalii. Obiectele din spaţiul fazelor dintr-un sistem dinamic pot fi fractali (vezi atractor). Obiectele din spaţiul parametrilor al unei familii de sisteme pot fi de asemenea fractali. Un exemplu interesant este mulţimea lui Mandelbrot. Această mulţime conţine discuri întregi, deci are dimensiunea Hausdorff egală cu dimensiunea topologică (adică 2) — dar ceea ce este surprinzător este că graniţa mulţimii lui Mandelbrot are de asemenea dimensiunea Hausdorff 2 (în timp ce dimensiunea topologică este 1), un rezultat demonstrat de Mitsuhiro Shishikura în 1991. Un fractal foarte înrudit este mulţimea Julia.
Chiar şi la curbele simple se poate observa proprietatea de autosimilaritate. De exemplu, distribuţia Pareto produce forme similare la diferite niveluri de grosisment.
Fractali aproximativi sunt uşor de observat în natură. Aceste obiecte afişează o structură auto-similară la o scară mare, dar finită. Exemplele includ norii, fulgii de zăpadă, cristalele, lanţurile montane, fulgerele, reţelele de râuri, conopida sau broccoli şi sistemul de vase sanguine şi vase pulmonare. 
Un fractal ferigă obţinut printr-un sistem de funcţii iterate
Arborii şi ferigile sunt fractali naturali şi pot fi modelaţi pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursivă este evidentă în aceste exemple — o ramură a unui arbore sau o frunză a unei ferigi este o copie în miniatură a întregului: nu identice, dar similare.
În 1999, s-a demonstrat despre anumite forme de fractali auto-similari că au o proprietate de "frequency invariance" — aceleaşi proprietăţi electromagnetice indiferent de frecvenţă — din Ecuaţiile lui Maxwell.
Arborii şi ferigile sunt fractali naturali şi pot fi modelaţi pe calculator folosind un algoritm recursiv. Natura recursivă este evidentă în aceste exemple — o ramură a unui arbore sau o frunză a unei ferigi este o copie în miniatură a întregului: nu identice, dar similare.
În 1999, s-a demonstrat despre anumite forme de fractali auto-similari că au o proprietate de "frequency invariance" — aceleaşi proprietăţi electromagnetice indiferent de frecvenţă — din Ecuaţiile lui Maxwell.
Fractalii în artă
Tipare de fractali au fost descoperite în picturile artistului american Jackson Pollock. Deşi picturile lui Pollock's par a fi doar stropi haotici, analiza computerizată a descoperit tipare de fractali în opera sa.
Fractalii sunt de asemenea predominanţi în arta şi arhitectura africană. Casele circulare apar în cercuri de cercuri, casele dreptunghiulare în dreptunghiuri de dreptunghiuri şi aşa mai departe. Astfel de tipare se găsesc şi în textile şi sculpturile africane, precum şi în părul împletit în codiţe.
Fractalii sunt de asemenea predominanţi în arta şi arhitectura africană. Casele circulare apar în cercuri de cercuri, casele dreptunghiulare în dreptunghiuri de dreptunghiuri şi aşa mai departe. Astfel de tipare se găsesc şi în textile şi sculpturile africane, precum şi în părul împletit în codiţe.
Niciun comentariu:
Trimiteți un comentariu